2017年4月14日金曜日

複素N根性ベクター

n乗根($\sqrt[n]{x}$と書けるんですね)を求める操作を開法と言って、四則演算と開法のみを有限回繰り返して問題を解くことが代数的解法だそうな。
このようなパターン認識も、算術から離れた問題の本質を解析することに繋がるんでしょうね。
ちなみに、級数というのも積と和とベキ根から成ってるじゃん。
もっとも、五次以上は代数的に解けんことがガロア理論で立証されることは有名らしいですな。
そもそも、一夜一夜に人見頃とかだなw ちゃんと求めたことがない件。

$x^n=1$ってのは、方程式$x^n-1=0$の解で、$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)=0$てな形に因数分解出来るんだね。
なんか、既にテーラー展開っぽいじゃないですか。
たとえば$x^4-1=0$なら$(x-1)(x^3+x^2+x+1)$やないの。うまいこと平方完成しとるね。
$n$が素数なら右側だけでいいという噂が。てか、1の場合はどのみち$n$分1足してるだけだもんね。。
で、解は4つあると。いや、あるのよ!複素有理数にゃらね。。( ・ิω・ิ)ナンノコッチャ (  ) (  )シ~ン
$z^n=(cos\theta+isin\theta)^n=cos \ n \theta+isin \ n \theta=1$でエエのか。ド・モアブルの定理なんて言うんでしたな~。
ま、何乗だろうが角度の倍でおkと。ベキ根もベクターであった!( °Д°)クワッ
ちなみに、$=1$とは複素平面上回転因子の原点は$cos \ n \theta=1$で$isin \ n \theta=0$ってことですな。
角度(回転因子)は$2\pi/n$を$\{0,1,\dots,n\}$に掛けていけばよさげだね。
それを$cos\theta+isin\theta$に代入していけばいいのか。
てか、複素平面の各象限($2\pi/4$)の$\pm$を意識しませんとね。。( * )Д`)/メンドクサ

ま、ここらへんは基礎的な部分なんだろうから、一応自分なりに真面目に押さえておきました。
わざわざ複素数で考えるメリット(、デメリットw)というのもなんとなく垣間見れましたな。
$n$も分数とか含めると、有理数に一般化されると思われ。
$\theta$の範囲によって何周するんじゃいってのが決まって、それぞれの複素平面上の極とか言うんでしょ。
それがリーミャン麺!\(゚`∀´゚)/ ということだったような。定義域の拡張という意味では解析接続に通じる道ナンでしょう。
理論的にも、数学的に美しい分野なんでしょうけどね~。
それはいつになるのかわかりませんが、また後でのお楽しみというか、、別に楽しみではないw


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