2017年4月5日水曜日

楕円軌道上の導手

2以上の自然数は、素数の積で組み合わせ的に一意に表せるという。
素因数分解ってヤツですね。
これは素粒子が様々な物質を構成するのに似ている。
また、時計のようにある範囲が決まっていて、割り算(商)の余りが合同という同値関係を為すというのは、並進対称性と言えるだろう。
このように、要素還元的に数学を捉えることがメタな数学であるならば、数学は面白くなり得る。
複雑なものを複雑なまま追いかけていたんでは、エントロピー増大の法則により手に負えないシロモノに育っていくだけだろう。
そのようなわけで、狙い球は絞らねばならない。

$3$以上の自然数$n$について、$x^n+y^n=z^n$になる組は存在しないらしいね。
それがフェルマーの定理というもので、比較的最近解かれたものだが。
$n$が$2$だったら、これはピタゴラスの定理で$3,4,5$という直角三角形の辺の比で有名(てか、それしか知らんが)である。
これは二次元までは、ベクターの長さが求まるということである。
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これを二次元だけに留めずに拡張したいお(´・ω・`) とハミエイロは思ったわけだね。
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ははぁ、これでなぜベクターの長さがノーム(ノルム)などというものに一般化せにゃならんかったか、という事情がわかるでわないか!
これは、ディクロニウス研究員がベクターの射程距離を求められないことへの”苦し紛れの処方箋”だったのである。
すべては繋がっているので理論が繋がるのだ。
これもまたベクター女王環上の加群と言えよう!( °Д°)クワッ

フェルマーの定理の証明は、志村-谷山予想の証明と等価であるとされていた。
実際、定理に証明は不要ですからな(^^;
それは「すべての有理数体上に定義された楕円曲線はモジュラーであろう」というものらしい。
数学者ならもちろんわかるんだろうが、にわかには意味わからんゾ。。
しかし、円の公式というものはこんな形をしていたやうな。
まぁ有理数は分数なども含んだ数ということで、モジュラーというのが肝になりそうだが。
さきほどの合同というのは、数学的に$m$を法とした合同であるなどと言う。これをmodulo mなどと表現する。
モジュラーというのは、それに関係するやつらだと思われ。。これ、以前やったな。割った余りの衆ということだした。
で、あらためて予想を見てみると、やっぱりわからねーじゃねーかというww
ちょっと推理力を働かして、楕円曲線が$x^n+y^n=z^n$を表すとして、割った商というのが交点としての解になるということでわ?

フェルマーには小定理というものがあって
$p$が素数、$a$が任意の自然数のとき
$a^p≡a \ mod \ p$という法則性が成り立つと言う。
これは自然数$a^p$は素数$p$を法として$a$と合同であるということだ。
これを拡張して、線型方程式$ax+by=c$が解をもつのは
$(a,b)|c$ということで、$a,b$は$c$の約数であるということだ。
ちなみに、自然数に対称性を持たせれば整数になる。
数を扱う学問において、本質的な問題というものは、このような組み合わせ論に集約し得るものであるハズ。
さて、楕円曲線とは$y^2=x^3+ax+b$で描ける曲線群らしい。
これの意味するものは何?


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