2017年4月4日火曜日

特殊共役固有圏

環とその部分環間の写像は圏というものになるんだって。
なので、圏論なるものにも自然と入っていくキッカケになる、かもね。。

さて、素粒子を構成する理論は標準理論などと呼ばれている。
$SU(3)\times SU(2)\times U(1)$を満たすべし、などと制約条件がつくのだが。
$U$はユニタリ群で、行列を表す群だと思えばいい。
$SU$は特殊ユニタリ群で、要はユニタリ群の部分群なのだ。
なんとなく、四元数の構造に対応していると私には見えますけどね。。
$SU(3)$が拡張複虚数で、それはクォークと呼ばれるものに対応する。
$SU(2)$は各四元(多元)ベクターを生み出す行列、これがいわゆる中間子を為すてな具合に。
ちなみに、質量を生み出すヒッグス場、そこから生み出される(ヒッグス)粒子が必要ということで、加速器で人工的にエネルギーを加えまくって、もはや自然とはかけ離れた辻褄合わせにやっきになっているように見えるね。
重力がベクトルポテンシャルの生み出す電気間力だとしたら、そんなものも必要ないケドな。。
それはともかく、(特殊)ユニタリ群など行列の乗法演算子による写像は、一般線型群の自己準同型写像を為しリー代数系と呼ばれる。
つまり、ユニタリ群は線型群の部分群なのである。
地球人類科学の先端理論においても、全てはベクターというものに異論を唱えうる者などもはや存在していないのが現実ナンである。

代数が示唆するものは、数字は数学の本質でなく、構造体系を検証するための道具、手段に過ぎないということのようにも思う。
そういう意味では、元数や$SU(\underline{3})$などという不確定なこだわりは、とりあえずリセットしておこう。
そうか、ベクターの交点$V_1 \cap V_2$は$0$ベクター$\{0 \}$である。だから方程式の解(核)なわけだな。

さて、$I$がリー代数$\mathfrak{g}$のイデアルの時、準同型とは$\mathfrak{g}$の元$x,y$が$f:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g'} \ , \ f([x,y])=[f(x),f(y)]$の交換関係が成り立つような線形写像のことで、イデアルは準同型の核となるそうな。
交換関係とは、行列の積のような非可換な場合に$[A,B]=AB-BA$でな量を用意して、$0$になるなら交換汁!ということである。
これは自分自身への作用、$x\mathfrak{g}x^{-1}$のようなものだ。この値が共役で$x$は$\mathfrak{g}$の共役類という同値関係なのだ。
波動ベクターの運動量自己共役内積は、実際に観測される固有値(状態)になるという意味ですかなっ!
ボルン流に言えば、波動関数の絶対値の二乗が粒子の見っかる確率になったったンだね$\heartsuit$と。


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