2017年4月12日水曜日

ガロア共役ベクター

クンマーは、フェルマーの最終定理を素数について証明していたそうな。
な~んだ。だったら、それを一意分解的な素元多項式に拡張するのは時間の問題だろうに。。
ガウスは多項式環というものを徹底的に研究していたようだ。
はじめて聞く言葉であるが、これが本質的であろうことは今では察しが付く。やっぱり大御所の考えてることってのは違うな~。

そもそもどのように一般化すればいいのか見当つかないが。
それは体$K$に係数をもつ$X$に関する多項式
$p=p_mX^m + p_{m-1}X^{m-1}+ \dots + p_1X + p_0$
ということで、多項式(環)の一般化はベキ級数になるんですな。
ところで、これは高次の線形和に見えるが、三次以上の線型性ってあるんだろうか?
考えてみれば、ベキ乗は同じ数の掛け算と一緒だから線型性は高次でもあるな。
だから微分の公式なんてものが成り立つわけで。。
あれ?じゃ逆に線型性が成り立たない場合って何よ?
$f(x+y)\neq f(x)+f(y)\lor f(ax)\neq af(x)$ってのを多項式一般に当てはめることは出来ないのか?

あ、やっぱり$\displaystyle p=\sum_k p_k X^K$ということで、これは線型性が成り立ってますね。
てか、そうなるようなものが多項式環デアルと言った方がいいのかにゃ?
この有理数体$Q$を$Q$に写す自己同型写像代数体が、ガロア群というものらしい。
つまり、$n$次方程式とはガロア群に対する作用素による置き換えのようなことなんだな。
$K \subset L$という関係性から$G=Gal(L/K)$というガロア拡大体という考えをした方がいいかもだが、まぁこれはおいおい。
なんか、バラバラな概念が今更ながらはじめて有機的に繋がったというか。
ま、とにかく級数というものはそういうものじゃありませんか。それが正則ということらしいね。
正に数学の”核心”的なところなんでしょうな。
にもかかわらず、算術的な観点からのみでは、なんか哲学的な匂いがきつくて遠い世界のことのように感ずるんだよね~。
こんなこと考えるわけないじゃないの、という意味では我ながら納得ですがw
数学とは、今、目の前にある部分数学を放り出し、どれだけ事の本質を言い当てられるかという説得術なんだねw
具体的な何かに集中力を切らさないようじゃイカンということですね。(ロ_ロ^)シカリ シカリ

ところで、素数$p$の素イデアル分解とやらは、多項式の因数分解にあたるもんなんだそうで。
素数$p | ab \Rightarrow p | a \lor p | b$と同じように、$ab \in P (a \in P \lor b \in P \ ; \ a,b \in R )$を素イデアルと言うんですな。($R$は環)
来てます、来てます。スカラー波来てます。(ロ_ロ^)シメシメ


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