2017年4月10日月曜日

解析接続ベクター

天気が良くて、風が強い日に無防備で外出すると、後が大変だ~。
しばらくは、マスクとか保護メガネを持参すべきだな。
あるいは、あえて天気の悪い日を選ぶとかね。罠ですわ。
気流が安定してない時は、体の中でも同じことが起こるってことだよね。
ま、通過儀礼的なものでしょうがないのかもしれないけど。昔はそんなに意識しなかったケドな。。

さて、先週ちょっと気になったので、それだけ補足する形にしておきたい。花冷えしとる感じだし。
ま、備忘録という意味合いが強いかもしれない。それだけ”解析接続”とやらのインパクトが強烈だったのだ。
解析接続の定義をいうものを見てみると、ある領域$D$で正則な関数$f(z)$があります、と。
正則って何じゃ?ってのがあるけど、ま、規則性があるくらいの感じで。関数なんだからよっぽど恣意的にランドマイズしない限りあるよ普通w
で、その領域と共通部分を持つ領域$D1$との$D\cap D1$で$f(z)$と同じ値をとる、$D1$に正則な"関数$g(z)$を解析接続と言う"んだね。

解析接続の方法には、関数をベキ級数で表し、収束円でチェインしていく円鎖法というものが使われるそうな。
思えば、複素関数の一回微分出来れば無限回微分可能という虫のいい良い性質は、(級数の)項別微分可能と一致の定理のコンボかな。
テイラー展開は、無限回微分可能な関数からベキ級数を得るということである。
などとしたり顔は出来んほどナンノコッチャな感覚がつきまとうシロモノだが、もちろん理系の世界では有名なんだと思いますが。
なんとなく、解析接続に有効(てか、そのものナン?)ということで俄然興味が湧いてきたw
ま、所詮モチベーションは少なからず現金なもんである。

ベキ級数は、関数$f$の$a$点まわりで$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$という、コテコテでヤな感じの式ですけどね。
好きな人にはたまらんのでしょうねw
そもそも離散の積分記号って、シグマプロジェクトかっ!( °Д°)クワッ と突っ込みたくなるほどダサイ記号だと思うの。。
ここで注意せにゃならんのが、微分可能$ \ \Rightarrow \ $収束するとは言ってない、ということである。(ω・。)ナヌッ
テイラー級数が収束し、さらに関数$f$と一致してはじめてテイラー展開可能ということナンである。
なので、テイラー展開してみようズなんてのは、ほとんどが展開出来ることを知っているブックなのである。
そんなことじゃいけねーぜ。この出たとこ勝負の四角い環の上でわよ!(ง・ิω・ิ)ง

さて、一致とのズレは剰余項として吸収する仕組みが考えられている。
上で表された積分記号の右の式が多項式の各項成分で、最後に似たようなモンつけ足そうズってことですよ。
これがモジュラーってことじゃない?それは方程式の解なし、あるいは解析接続なしを意味するわけで。。
てか、そもそも関数がなんでこんな多項式に展開出来るん?ということだろうな。(`-д-´)y-~~ (自信なしw)
上の$f^{(n)}(a)$は微分係数である。$a$についての$f'$とか$f''$というn階微分ということっすな!これが無限回続きますってのが無限級数。
$x,y$の二次元座標では、$x$軸上の点は皆$y=0$の点集合である。ん?$0$ベクター。これが核だねっ!!
$f(a),f(b)$これが$b>a$だとして、途中に$f'(c)=0$という接線があるねというのがロルの定理とやらで。
この場合の$0$ってのは接線の傾きが$0$って意味だが。
これに接線の傾きを付加したのがラグランジュの平均値の定理で、$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$となる接線が存在するで、と。
いうことで有理式というのかな、分数型になった。
これで、微分係数を各点間で連結していくという発想だけは、なんとなく見えてきた。
つまりひとつの点に対しては、一回微分してもそれはそれなんだが、せっかく(無限回微分可能につき)なので無限回やろうズと。
それはその点まわりに一周するってことなんだな。$x-a$は円の半径でしょ?
その円を違う関数の領域まで無事繋げられたら、解析接続出来ましたン!\( ・ω・ )/ とゆことかと。
微分の階数$n$がベキ乗数になるのか。。ああ、無限回微分するからそれ分あると。
あれ?じゃ、この関数だけで解析接続って自己完結するんだ?


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