2017年4月3日月曜日

閉じれば環群

なんか寒いので、数学まだ継続しますか。
てか、群とか環とか思いっきり抽象的な概念に今こそフォーカスすべきかな。
それらはわかりにくいんだけど、物理的あるいは実装的な制約から自由になるってな意味合いもありますからな。
まぁわからなくても元々じゃない、と。所詮、集合の分類に過ぎん。身構えなきゃならんモンでもあるまい。

で、まず環から入りたいんだよな。
これは四元数を念頭においたことであることははっきりしている。
$ijk$っていう虚数部が演算(外積)に対し、サイクリックな構造になってたじゃない?
ああ、これが環というものなのかと感じたね。それがインチキな数学じゃない裏付けってことなのよ。
インチキどころか、数学の見えざる構造を暴き出す基礎数学であるとさえ感じた。
実は定義的には、ほとんどの数体系は環のようだが、それでは天下り杉で何も感じとれないんだよね。

プログラミングの世界でも、ある領域の終端まで行ったら先頭に戻るというロジックでバッファリングすれば、それはもうリングバッファと呼ばれる構造となる。
ものも概念も違えど、トポロジー的に同じではないか。
積に対する可換性というのは、各元自体が複素行列をなすことからそれが非可換であることに納得がいくが、せっかく環状という形状的特徴があるのだから、あえてトポロジー的に説明つかんものだろうか?という疑問が。。
そもそも環という形状を取った時に、数学的操作の対称性は自発的に破れていやしないだろうか?
なんでも、フランスのアラン・コンヌ博士という人が1980年代に非可換幾何学という分野を提唱したようだ。
我が意を得たり!イイ線いっとるやないスか!
なんか、これは物理の標準理論のための理論という毛色が強いようだが、少なからず現代数学の発展はそのようなものになっているのだろう。
数学がわからないと、物理の理解にも限界が出来てしまうのだが、結局、逆もまた真なりということか。。
名前だけは聞いたことがありそうだが、バナッハ(B)環やらそれに$\| a*a\| =\| a\| ^2$ノルムの定義を加えたC*環など、作用素環論というものが重要な役割を果たしそうだというのは、直観と合致するところだ。
それらがアルミ缶やスチール缶のような物性に対応しているなどとなったら、一休さん的な意味で素晴らしいのだが。。

ところでイデアルというナンノコッチャな概念は部分環のことで、だから右だ左だという掛ける順番の別がある、こともあるってことですな。
やはり、具体的な数学的実体を念頭に置けるかどうかは、抽象的な概念を学ぶ際は重要である。
ライオンを見たことがないのに、たてがみの概念がわからんなどと悩み苦しむようなことはアホらしいでわないか。
イデアルには条件があって、$\{ax\in I \ | \ x \in I \ ; \ a \in A \}$と線形代数の係数となるように環の元をとるという意味合いがあるようだ。
商環ということで理論はややこしいですが、結局、加法と乗算について閉じてる体系を為すというのが、数学の肝になるわけで。
これで、環はフラクタリッキーな入れ子構造に拡張出来ますからな。
多面体を$P$で表すと、例えば四元数なら$P(4)\simeq \mathfrak{A}_4$などと表して、各頂点が素粒子の交換群をなすような理論体系$\simeq \mathfrak{R}$にしたいのかね。
ときに、環(ring)という言葉はヒルベルトが使ったようだが、それは輪っかではなく数格闘場のリングということのような。。(ง・ω・)ง
ト、トポロジー的には一緒だから。\(゚`∀´゚)/カンロン ジェ~ム
((;o_o)) <●>π  (  ) (  )


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